Mathématiques de base Exemples

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ par $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}} \cdot \frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{c} + 2}{3 + \sqrt{c}}$ par $\frac{3 - \sqrt{c}}{3 - \sqrt{c}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{(3 + \sqrt{c}) (3 - \sqrt{c})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - 3 \sqrt{c} + \sqrt{c} \cdot 3 - {\sqrt{c}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{c}$ comme $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - {(c^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c^{1}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 3

Développez $(5 \sqrt{c} + 2) (3 - \sqrt{c})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{c} (3 - \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 (3 - \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{c} \cdot 3 + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} + 5 \sqrt{c} (- \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.2

Multipliez $5 \sqrt{c} (- \sqrt{c})$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 \sqrt{c} \sqrt{c} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $\sqrt{c}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} \sqrt{c}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $\sqrt{c}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 ({\sqrt{c}}^{1} {\sqrt{c}}^{1}) + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{1 + 1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {\sqrt{c}}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.3

Réécrivez ${\sqrt{c}}^{2}$ comme $c$ .

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Étape 4.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{c}$ comme $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c^{1} + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 + 2 (- \sqrt{c})}{9 - c}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{15 \sqrt{c} - 5 c + 6 - 2 \sqrt{c}}{9 - c}$

Étape 4.2

Soustrayez $2 \sqrt{c}$ de $15 \sqrt{c}$ .

$\frac{- 5 c + 6 + 13 \sqrt{c}}{9 - c}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{c}$ comme $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 c + 6 + 13 c^{\frac{1}{2}}}{9 - c}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Étape 5.3

Réécrivez $- 5 c + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $c$ comme ${(c^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{- 5 {(c^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13 c^{\frac{1}{2}} + 6}{9 - c}$

Étape 5.3.2

Laissez $u = c^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $c^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\frac{- 5 u^{2} + 13 u + 6}{9 - c}$

Étape 5.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 5 \cdot 6 = - 30$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 u$ .

$\frac{- 5 u^{2} + 13 (u) + 6}{9 - c}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez $13$ comme $- 2$ plus $15$

$\frac{- 5 u^{2} + (- 2 + 15) u + 6}{9 - c}$

Étape 5.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 u^{2} - 2 u + 15 u + 6}{9 - c}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 5 u^{2} - 2 u) + 15 u + 6}{9 - c}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (- 5 u - 2) - 3 (- 5 u - 2)}{9 - c}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 5 u - 2$ .

$\frac{(- 5 u - 2) (u - 3)}{9 - c}$

Étape 5.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Étape 5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 c^{\frac{1}{2}} - 2$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 c^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Étape 5.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 c^{\frac{1}{2}}) - 1 (2)$ .

$\frac{- (5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5 c^{\frac{1}{2}} + 2) (c^{\frac{1}{2}} - 3)}{9 - c}$